PHẦN I. Câu trắc nghiệm nhiều phương án lựa chọn (8,0 điểm)
Mỗi câu trả lời đúng được 0,25 điểm.
| Câu | Đáp án | Câu | Đáp án | Câu | Đáp án | Câu | Đáp án |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 1 | B | 9 | B | 17 | A | 25 | C |
| 2 | D | 10 | B | 18 | B | 26 | D |
| 3 | B | 11 | D | 19 | B | 27 | C |
| 4 | B | 12 | A | 20 | C | 28 | D |
| 5 | C | 13 | D | 21 | B | 29 | C |
| 6 | C | 14 | C | 22 | A | 30 | A |
| 7 | B | 15 | C | 23 | C | 31 | D |
| 8 | B | 16 | C | 24 | A | 32 | B |
PHẦN II. Câu trắc nghiệm đúng sai (4,0 điểm)
Điểm số mỗi câu: Đúng 1 ý được 0,1 điểm; Đúng 2 ý được 0,25 điểm; Đúng 3 ý được 0,5 điểm; Đúng 4 ý được 1,0 điểm.
| Lệnh hỏi | Câu 1 | Câu 2 | Câu 3 | Câu 4 |
|---|---|---|---|---|
| a | Đ | S | Đ | Đ |
| b | S | S | S | S |
| c | S | Đ | Đ | Đ |
| d | S | S | Đ | S |
PHẦN III. Câu trắc nghiệm trả lời ngắn (3,0 điểm)
Mỗi câu trả lời đúng được 0,5 điểm.
| Câu 1 | Câu 2 | Câu 3 | Câu 4 | Câu 5 | Câu 6 |
|---|---|---|---|---|---|
| -0,5 | 83025 | 65 | 7,53 | 3,5 | 24 |
PHẦN IV. Tự luận (5,0 điểm)
Câu 1 (2,0 điểm).
1) Gọi \(A, B\) là hai điểm phân biệt thuộc đồ thị hàm số và đối xứng với nhau qua đường thẳng. Tính độ dài đoạn thẳng \(AB\).
2) Mô hình hóa khu đất hình chữ nhật \(ABCD\) giáp bờ hồ có hai đỉnh \(A, B\) thuộc đồ thị hàm số \(y = f(x)\) và \(C, D\) thuộc trục hoành. Tìm độ dài cạnh \(CD\) để diện tích hình chữ nhật lớn nhất.
Hướng dẫn chấm Câu 1:
- Đường thẳng vuông góc với đường thẳng đã cho có dạng tương ứng. Tìm điều kiện để phương trình hoành độ giao điểm có 2 nghiệm phân biệt (0,25 điểm).
- Tính tọa độ trung điểm \(I\) của \(AB\) và cho \(I\) thuộc đường thẳng đối xứng (0,25 điểm).
- Giải ra tọa độ điểm và tính độ dài đoạn \(AB\) (0,5 điểm).
- Lập hàm diện tích \(S(x)\) cho hình chữ nhật \(ABCD\), tìm cực đại thông qua bảng biến thiên để kết luận độ dài \(CD\) tối ưu (1,0 điểm).
Câu 2 (2,0 điểm). Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình vuông cạnh \(a\), mặt bên \(SAB\) là tam giác đều, mặt bên \(SAD\) là tam giác vuông cân tại \(S\).
a) Chứng minh quan hệ vuông góc giữa các đường thẳng / mặt phẳng.
b) Tính thể tích khối chóp \(S.ABCD\).
Hướng dẫn chấm Câu 2:
- a) Gọi \(I, J\) là trung điểm \(AB, CD\). Sử dụng tính chất tam giác đều và tam giác vuông cân để suy ra điều kiện vuông góc (1,0 điểm).
- b) Xác định chiều cao \(SH\) của khối chóp, sử dụng tam giác đồng dạng tìm tỉ số độ dài và tính thể tích \(V = \frac{1}{3} S_{ABCD} \cdot SH\) (1,0 điểm).
Câu 3 (1,0 điểm). Chia bài toán tổ hợp phân phát quyển vở cho học sinh sao cho không ai nhận số vở chia hết cho một số cho trước.
Hướng dẫn chấm Câu 3:
- Sử dụng phương pháp chia kẹo Euler (Stars and bars) tìm số phần tử không gian mẫu (0,25 điểm).
- Phân tích các trường hợp thỏa mãn yêu cầu bài toán (0,5 điểm).
- Tính tổng số cách chọn thuận lợi và suy ra xác suất cần tìm (0,25 điểm).