TÓM TẮT ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG THPT TỈNH CÀ MAU 2026 - 2027
Đề thi chính thức môn Toán chọn đội tuyển học sinh giỏi THPT cấp tỉnh năm học 2026 - 2027 của Sở Giáo dục và Đào tạo Cà Mau (Buổi thi thứ nhất). Kỳ thi diễn ra ngày 26/07/2026 gồm 04 câu hỏi tự luận nâng cao thuộc các lĩnh vực: Phương trình hàm & dãy số, Bất đẳng thức & cực trị, Số học và Hình học phẳng.
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Câu 1 (5,0 điểm). Cho hàm số \(f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}\) liên tục, khác hằng và thoả mãn
\[ f(x^3) + 1 = (x f(x) + 2x^2 - 1)^2, \quad \forall x \in \mathbb{R}. \]Xét dãy số thực \((u_n)\) xác định bởi \(u_1 = m \in \mathbb{R}\) và \(u_{n+1} = f(u_n), \quad \forall n \ge 1.\)
a) Chứng minh rằng tồn tại \(m > 1\) để dãy số \((u_n)\) là dãy hằng.
b) Giả sử \(f\) là đa thức khác hằng, hỏi có bao nhiêu số thực \(m \in (-1; 3)\) để \(u_{2027} = 1\)?
Câu 2 (5,0 điểm). Với \(n\) nguyên dương, xét các số thực thay đổi \(x_1, x_2, \dots, x_n \in [-1; 1]\). Quy ước rằng \(x_0 = x_n\) và \(x_{n+1} = x_1\). Ký hiệu
\[ T = \max_{1 \le k \le n} \left\{ x_k (x_{k-1} + x_{k+1}) \right\} \]là số lớn nhất trong \(n\) số \(x_1(x_0 + x_2), x_2(x_1 + x_3), \dots, x_n(x_{n-1} + x_{n+1})\).
a) Khi \(n = 2026\), tìm giá trị nhỏ nhất của \(T\).
b) Khi \(n = 2027\), chứng minh rằng \(T \ge -\dfrac{1}{4}\) và nêu một bộ \(x_1, x_2, \dots, x_n \in [-1; 1]\) để có đẳng thức.
Câu 3 (5,0 điểm). Với mỗi cặp số nguyên dương \(a\) và \(b\), ký hiệu \(f(a,b) = 11a + 6b + 8ab\).
a) Chứng minh rằng với \(a, b, c, d \in \mathbb{Z}^+\) và \(m > 1\) là luỹ thừa của \(2\), nếu có \(f(a,b) \equiv f(c,d) \pmod m\) và \(f(b,a) \equiv f(d,c) \pmod m\) thì \(a - c\) và \(b - d\) đều chia hết cho \(m\). Hỏi kết luận còn đúng không nếu \(m\) có ước nguyên tố lẻ?
b) Chứng minh rằng \(k = 2\) là số tự nhiên nhỏ nhất sao cho \(f(a,b) + k\) không là số chính phương với mọi \(a, b \in \mathbb{Z}^+\).
Câu 4 (5,0 điểm). Cho hai đường tròn \((O_1), (O_2)\) có bán kính khác nhau và cắt nhau tại hai điểm \(A, B\). Kẻ tiếp tuyến chung \(CD\) của hai đường tròn (gần \(B\) hơn) với \(C \in (O_1), D \in (O_2)\). Dựng điểm \(H\) sao cho tam giác \(HCD\) nhận \(B\) làm trực tâm. Kẻ đường kính \(CR\) của \((O_1)\) và đường kính \(DS\) của \((O_2)\). Biết rằng \(BR\) cắt \(HC\) ở \(P\) và \(BS\) cắt \(HD\) ở \(Q\). Dựng các điểm \(I, J\) sao cho các đoạn thẳng \(HI, HJ\) lần lượt nhận \(P, Q\) làm trung điểm. Chứng minh rằng hai tam giác \(AIC, AJD\) có cùng bán kính đường tròn ngoại tiếp.