Bộ đề ôn luyện thi tốt nghiệp THPT môn Toán theo cấu trúc mới bao gồm các câu hỏi Trắc nghiệm Đúng/Sai và Trả lời ngắn. Bài thi bao phủ nhiều dạng toán quan trọng như ứng dụng phương trình mặt phẳng Oxyz vào bài toán chuyển động vệ tinh, hình học không gian, bài toán quy hoạch tuyến tính tối ưu chi phí, các mô hình thực tế và xác suất Bayes.
PHẦN II. Câu hỏi trắc nghiệm Đúng/Sai
Câu 3.1. Vệ tinh hoạt động dựa trên nguyên lý của vật lý Newton. Một vật thể bị kéo bởi một lực hấp dẫn từ một vật thể khác sẽ chuyển động theo một quỹ đạo elip xung quanh vật thể đó. Để đưa vệ tinh lên quỹ đạo, người ta sử dụng các loại tên lửa đẩy khác nhau để cung cấp cho vệ tinh động lượng cần thiết để thoát khỏi trọng lực của Trái Đất và duy trì quỹ đạo ổn định. Để thuận tiện ta quy ước một quỹ đạo gần tròn thành một đường tròn. Trong hệ tọa độ \(Oxyz\), gốc tọa độ là tâm trái đất, một vệ tinh nhân tạo có quỹ đạo được coi như một đường tròn có bán kính \(6032\text{ km}\) có điểm xuất phát là điểm \(A(0; -5400; 5376)\) và đây cũng là điểm gần Trái Đất nhất của vệ tinh. Quỹ đạo của vệ tinh này nằm trên mặt phẳng vuông góc với trục tung và có tâm nằm trên đường thẳng \(y = -3440\). Coi trái đất là hình cầu hoàn hảo có bán kính bằng \(4032\text{ km}\).
a) Mặt phẳng chứa quỹ đạo của vệ tinh có một vectơ pháp tuyến là \(\vec{n} = (0; 1; 0)\).
b) Phương trình mặt phẳng chứa quỹ đạo của vệ tinh là \(y + 3440 = 0\).
c) Phương trình đường thẳng qua tâm quỹ đạo và điểm \(A\) có dạng \(\frac{x}{0} = \frac{y + 3440}{-1960} = \frac{z}{5376}\).
d) Khi Trái Đất quay, điểm cực Nam và cực Bắc của Trái Đất không thay đổi vị trí. Biết rằng điểm cực Nam của Trái Đất là \(S(0; -4032; 0)\). Khoảng cách gần nhất giữa vệ tinh và điểm cực Nam bằng \(5340\text{ km}\) (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).
HD giải
a) Quỹ đạo của vệ tinh này nằm trên mặt phẳng vuông góc với trục tung nên một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng chứa quỹ đạo của vệ tinh là \(\vec{n} = (0; 1; 0)\). Mệnh đề a) đúng.
b) Quỹ đạo của vệ tinh nằm trên mặt phẳng vuông góc với trục tung nên phương trình mặt phẳng có dạng \(y + d = 0\). Quỹ đạo đi qua điểm \(A(0; -5400; 5376)\) nên \(-5400 + d = 0 \Rightarrow d = 5400\). Vậy phương trình mặt phẳng là \(y + 5400 = 0\). Mệnh đề b) sai.
c) Quỹ đạo của vệ tinh có tâm nằm trên đường thẳng \(y = -3440\) nên tâm \(I\) nằm trên đường thẳng \(y = -3440\). Mặt khác \(I \in (P)\) nên \(I\) là trung điểm của \(AA'\). Khi đó \(y_I = -5400\) nên tọa độ điểm \(I(0; -5400; 0)\). Đường \(IA\) có VTCP là \(\vec{IA} = (0; 0; 5376)\) nên có phương trình \(\frac{x}{0} = \frac{y + 5400}{0} = \frac{z}{5376}\). Mệnh đề c) đúng.
d) Gọi \(H\) là hình chiếu của \(S\) lên mặt phẳng quỹ đạo \((P)\). Khi đó \(H(0; -5400; 0)\), \(SH = 1368\). Nối \(H\) và \(I\) cắt quỹ đạo vệ tinh tại \(M\) thì \(SM\) ngắn nhất. Khi đó \(SM = \sqrt{SH^2 + HM^2} \approx 5340\text{ (km)}\). Mệnh đề d) sai.
Câu 4. Một lớp học có \(40\) học sinh, trong đó có \(15\) học sinh nữ. Biết tỷ lệ học sinh biết đánh cầu lông trong số học sinh nữ là \(40\%\) và tỷ lệ học sinh biết đánh cầu lông trong số học sinh nam là \(60\%\). Chọn ngẫu nhiên một học sinh. Khi đó:
a) Xác suất học sinh được chọn là nữ bằng \(\frac{3}{8}\).
b) Xác suất học sinh được chọn là học sinh biết đánh cầu lông, biết học sinh này là nam bằng \(\frac{3}{5}\).
c) Biết học sinh được chọn là học sinh biết đánh cầu lông thì xác suất học sinh đó là học sinh nam bằng \(\frac{1}{2}\).
d) Xác suất để học sinh được chọn là nam khi biết học sinh đó không biết đánh cầu lông là \(\frac{10}{19}\).
Hướng dẫn
Gọi \(A\): “học sinh được chọn là học sinh nam” thì \(\overline{A}\): “học sinh được chọn là học sinh nữ”;
Và \(B\): “học sinh được chọn là học sinh biết đánh cầu lông” thì \(\overline{B}\): “học sinh được chọn là học sinh không biết đánh cầu lông”.
Theo giả thiết ta có: \(P(\overline{A}) = \frac{15}{40} = \frac{3}{8}\) và \(P(A) = \frac{25}{40} = \frac{5}{8}\).
\(P(B|\overline{A}) = 40\% = \frac{2}{5}\) và \(P(B|A) = 60\% = \frac{3}{5}\).
a) Xác suất học sinh được chọn là nữ bằng \(P(\overline{A}) = \frac{3}{8}\). Chọn ĐÚNG.
b) Xác suất học sinh được chọn là học sinh biết đánh cầu lông, biết học sinh này là nam bằng \(P(B|A) = \frac{3}{5}\). Chọn ĐÚNG.
c) Xác suất học sinh được chọn là học sinh biết đánh cầu lông là \(P(B) = P(A) \cdot P(B|A) + P(\overline{A}) \cdot P(B|\overline{A}) = \frac{5}{8} \cdot \frac{3}{5} + \frac{3}{8} \cdot \frac{2}{5} = \frac{21}{40}\). Xác suất học sinh đó là nam khi biết học sinh đó biết đánh cầu lông: \(P(A|B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} = \frac{\frac{5}{8} \cdot \frac{3}{5}}{\frac{21}{40}} = \frac{5}{7}\). Chọn SAI.
d) Xác suất để học sinh được chọn là nam khi biết học sinh đó không biết đánh cầu lông: Vì \(P(B) = \frac{21}{40}\) nên \(P(\overline{B}) = \frac{19}{40}\). Mặt khác \(P(\overline{B}|A) = 1 - P(B|A) = \frac{2}{5}\) nên \(P(A \cap \overline{B}) = \frac{5}{8} \cdot \frac{2}{5} = \frac{1}{4}\). Do đó theo công thức Bayes: \(P(A|\overline{B}) = \frac{P(A \cap \overline{B})}{P(\overline{B})} = \frac{\frac{1}{4}}{\frac{19}{40}} = \frac{10}{19}\). Chọn ĐÚNG.
PHẦN III. Câu hỏi trả lời ngắn
Câu 1.1. Cho hình chóp \(S.ABCD\) có đáy \(ABCD\) là hình thang vuông tại \(A\) và \(D\) và \(AB = 2a, AD = CD = a\). Biết \(SA = a\sqrt{2}\), \(SD = a\sqrt{2}\). Hình chiếu vuông góc của đỉnh \(S\) lên mặt phẳng \(ABCD\) là điểm \(H\) thuộc đoạn thẳng \(AD\) sao cho \(AH = 3HD\). Góc giữa mặt phẳng \(SBC\) và mặt phẳng đáy \(ABCD\) bằng \(60^\circ\). Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SD\) và \(BC\) (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).
Trả lời: 0,93
Lời giải
Khoảng cách giữa hai đường thẳng \(SD\) và \(BC\) tính được bằng \(d(SD, BC) \approx 0,93\).
Câu 2. Bác An có một mảnh đất vườn diện tích 6 ha. Bác dự tính trồng cà chua và bắp cho mùa vụ sắp tới. Nếu trồng bắp thì bác An cần 10 ngày để trồng một ha. Nếu trồng cà chua thì bác An cần 20 ngày để trồng một ha. Biết rằng mỗi ha bắp sau thu hoạch bán được 30 triệu đồng, mỗi ha cà chua sau thu hoạch bán được 50 triệu đồng và bác An chỉ còn 100 ngày để canh tác cho kịp mùa vụ. Hỏi số tiền (triệu đồng) nhiều nhất mà bác An có thể thu được sau mùa vụ này là bao nhiêu?
Đáp số: 260
HƯỚNG DẪN
Gọi \(x\) là diện tích trồng bắp (ha), \(y\) là diện tích trồng cà chua (ha). Ta có hệ bất phương trình: \(\begin{cases} x \ge 0, y \ge 0 \\ x + y \le 6 \\ 10x + 20y \le 100 \end{cases}\). Miền nghiệm là miền tứ giác \(OACD\) với các đỉnh \(O(0;0), A(0;5), C(2;4), D(6;0)\). Hàm số tiền thu được \(F(x,y) = 30x + 50y\) đạt giá trị lớn nhất tại \(C(2;4)\) với \(F(2,4) = 30(2) + 50(4) = 260\) triệu đồng.
Câu 3. Một công ty hóa chất có một bồn chứa dạng hình nón cụt làm bằng thép, bồn có chiều cao là \(4\text{ m}\), bán kính đáy dưới là \(2\text{ m}\) và bán kính đáy trên là \(4\text{ m}\). Giả sử bồn đang trống, người ta bắt đầu bơm một loại dung dịch vào bồn với tốc độ không đổi là \(0,5\text{ m}^3/\text{phút}\). Hỏi sau bao lâu (giây) kể từ khi bắt đầu bơm, mực nước trong bồn đạt độ cao \(2\text{ m}\)? (kết quả đến chữ số hàng phần mười).
Giải
Đường thẳng đi qua hai điểm \((0;2)\) và \((4;4)\) có phương trình \(y = \frac{1}{2}x + 2\). Thể tích dung dịch tại độ cao \(h = 2\text{ m}\) là \(V = \frac{38\pi}{3}\text{ m}^3\). Thời gian bơm dung dịch tương ứng là \(t = \frac{V}{0,5}\text{ phút}\).
Câu 4.1. Mỗi căn nhà trong Hình 1 được phác thảo dưới dạng một hình lăng trụ đứng tam giác \(OAB.O'A'B'\) như trong Hình 2. Với hệ trục toạ độ \(Oxyz\) thể hiện như Hình 2 (đơn vị đo lấy theo centimét), hai điểm \(A\) và \(B\) có tọa độ lần lượt là \((120; 0; 0)\) và \((0; 0; 250)\). Biết chi phí lát gạch nền nhà là \(120.000\text{ đ/m}^2\), chi phí làm hai mái nhà là \(250.000\text{ đ/m}^2\), chi phí làm mặt trước và sau nhà là \(300.000\text{ đ/m}^2\). Tổng chi phí làm mỗi căn nhà là bao nhiêu triệu (làm tròn đến hàng phần chục).
HD giải
Tính các kích thước nhà từ tọa độ điểm. Tổng chi phí làm mỗi căn nhà thu được là 144,3 triệu đồng.
Câu 5. Một cửa hàng bán lẻ bán 2500 cái tivi mỗi năm. Để bán được số tivi đó, cửa hàng đặt hàng từ Nhà máy sản xuất thành nhiều lần trong năm, số tivi đặt cho nhà máy là như nhau cho các lần đặt hàng. Mỗi lần lấy hàng từ nhà máy về cửa hàng chỉ để trưng bày được một nửa, một nửa số hàng còn lại phải lưu kho. Chi phí gửi trong kho là 10.000 đ một cái, chỉ tính cho một lần nhập trong năm. Để đặt hàng chi phí cố định cho mỗi lần đặt là 500.000 đ cộng thêm 50.000 đ mỗi cái. Cửa hàng đặt bao nhiêu lần trong một năm để chi phí mà cửa hàng phải trả là nhỏ nhất?
HD giải
Gọi \(x\) là số tivi mà cửa hàng đặt mỗi lần. Tổng chi phí phải trả đạt giá trị nhỏ nhất khi \(x = 500\). Vậy cửa hàng cần đặt hàng 5 lần trong một năm.
Câu 6.1: Một trường THPT X của tỉnh Cà Mau có 9 giáo viên dạy môn Toán gồm có 4 giáo viên nữ và 5 giáo viên nam, môn Vật lý thì có 4 giáo viên nam. Lãnh đạo trường chọn ngẫu nhiên ra một đoàn kiểm tra công tác ôn thi THPT năm 2026 gồm có 3 người. Tính xác suất để chọn ra được đoàn kiểm tra có đủ môn Toán và Vật lý đồng thời phải có giáo viên nam và giáo viên nữ trong đoàn? (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm)
Đáp số: 0,41
Hướng dẫn
Số phần tử không gian mẫu: \(C_{13}^3 = 286\). Các trường hợp thỏa mãn gồm 118 cách chọn. Xác suất cần tìm: \(P = \frac{118}{286} \approx 0,41\).