Đề thi minh họa chọn học sinh giỏi cấp tỉnh THPT môn Toán (Bảng A) do Sở GD&ĐT Quảng Ninh công bố. Nội dung kiểm tra tích hợp toàn diện kiến thức đại số, giải tích, hình học không gian cổ điển và tọa độ Oxyz, cùng các bài toán thực tế và thống kê định hướng phát triển năng lực tư duy toán học chuyên sâu.
PHẦN I. CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM NHIỀU PHƯƠNG ÁN LỰA CHỌN (6,0 ĐIỂM)
Thí sinh trả lời từ câu 1 đến câu 14. Mỗi câu hỏi chỉ chọn một phương án trả lời đúng. Mỗi câu trả lời đúng được 0,4 điểm.
Câu 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chọn khẳng định đúng trong các khẳng định sau?
A. \(\vec{PQ} = \frac{1}{4}(\vec{BC} + \vec{AD})\).
B. \(\vec{PQ} = \frac{1}{2}(\vec{BC} + \vec{AD})\).
C. \(\vec{PQ} = \frac{1}{2}(\vec{BC} - \vec{AD})\).
D. \(\vec{PQ} = \vec{BC} + \vec{AD}\).
Câu 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho hình hộp \(ABCD.A'B'C'D'\). Biết các đỉnh \(A(-3; 2; 1)\), \(C(4; 2; 0)\), \(B'(-2; 1; 1)\), \(D'(3; 5; 4)\). Tọa độ điểm \(G\) là trọng tâm của tam giác \(A'B'D'\) là
A. \((-3; 3; 3)\).
B. \(\left(-\frac{2}{3}; 3; \frac{8}{3}\right)\).
C. \((-3; -3; 3)\).
D. \(\left(-\frac{1}{3}; 3; \frac{1}{3}\right)\).
Câu 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ \(Oxyz\), cho tam giác vuông \(ABC\) biết các đỉnh \(A(-2; -4; 1)\), \(B(1; 2; 2)\) và \(C(1; -6; 4)\). Điểm \(I(a; b; c)\) là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác \(ABC\). Giá trị của \(a + b + c\) bằng
A. 1.
B. 2.
C. 3.
D. 4.
Câu 4. Các giá trị của tham số \(m\) để hàm số \(y = \log_{2025}\left(x^2 + 2(m - 1)x + m^2 + m - 6\right)\) xác định với mọi số thực \(x\) là
A. \(m > \frac{7}{3}\).
B. \(m \ge \frac{7}{3}\).
C. \(m < \frac{7}{3}\).
D. \(m \le \frac{7}{3}\).
Câu 5. Trước khi hết tuổi lao động, ông X có dành dụm được một khoản tiền để gửi tiết kiệm ngân hàng với lãi suất là \(0,9\%/\text{tháng}\). Sau khi gửi tiết kiệm ngân hàng, đủ mỗi tháng gửi ông X đến ngân hàng rút ra một khoản tiền là 5 triệu đồng để chi tiêu hàng ngày. Sau đúng 5 năm kể từ ngày gửi tiết kiệm, số tiền tiết kiệm còn lại của ông X là 100 triệu đồng. Số tiền (triệu đồng) ông X gửi tiết kiệm ban đầu gần nhất với giá trị nào?
A. 289,44.
B. 289,43.
C. 119.
D. 120.
Câu 6. Cho hình chóp tam giác \(S.ABC\) có đáy là tam giác đều cạnh \(a\), cạnh bên \(SA\) vuông góc với đáy và \(SA = 2a\). Khoảng cách từ điểm \(A\) đến mặt phẳng \((SBC)\) là
A. \(\frac{2a\sqrt{57}}{19}\).
B. \(\frac{a\sqrt{3}}{2}\).
C. \(\frac{2a\sqrt{5}}{5}\).
D. \(\frac{2a\sqrt{39}}{13}\).
Câu 7. Thống kê điểm thi của các thí sinh tham gia kì thi chọn học sinh giỏi cấp trường môn Toán như sau:
| Điểm thi | [3; 4) | [4; 5) | [5; 6) | [6; 7) | [7; 8) | [8; 9) | [9; 10] |
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| Số thí sinh | 6 | 7 | 15 | 23 | 17 | 8 | 4 |
Tìm trung vị của mẫu số liệu trên gần nhất với số nào?
A. 6,3.
B. 6,4.
C. 6,5.
D. 6,6.
Câu 8. Cho hai số thực \(a\) và \(b\) thỏa mãn \[\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{4x^2 - 3x + 1}{2x + 1} - ax - b \right) = 0\]. Giá trị \(a + 2b\) bằng
A. \(-4\).
B. \(-3\).
C. 3.
D. 4.
Câu 9. Tìm số nguyên dương \(n\) thỏa mãn \[C_n^0 + 3C_n^1 + 9C_n^2 + \dots + 3^n C_n^n = 1024\].
A. \(n = 4\).
B. \(n = 5\).
C. \(n = 6\).
D. \(n = 7\).
Câu 10. Một tỉnh có 2 triệu dân vào năm 2024 với tỉ lệ gia tăng dân số không đổi là \(1\%/\text{năm}\). Gọi \(u_n\) là số dân của tỉnh đó sau \(n\) năm, \(u_{10}\) gần nhất với số nào?
A. 2,19 triệu.
B. 2,21 triệu.
C. 2,2 triệu.
D. 2,0 triệu.
Câu 11. Một vật chuyển động theo phương trình \(S(t) = \frac{1}{3}t^3 - 2t^2 + 5t + 10\), trong đó \(t\) (tính bằng giây) là khoảng thời gian được tính từ lúc vật bắt đầu chuyển động; \(S\) (tính bằng mét) là quãng đường vật chuyển động được trong khoảng thời gian đó. Mệnh đề nào sau đây là đúng?
A. Vận tốc của vật tăng từ giây thứ 1 đến giây thứ 3.
B. Vận tốc của vật giảm từ giây thứ 1 đến giây thứ 4.
C. Vận tốc của vật giảm từ giây thứ 4 đến giây thứ 7.
D. Vận tốc của vật tăng từ giây thứ 3 đến giây thứ 6.
Câu 12. Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm \(f'(x) = x(x - 4), \forall x \in \mathbb{R}\). Hàm số \(y = f(x)\) đồng biến trên khoảng nào dưới đây?
A. \((0; 4)\).
B. \((4; +\infty)\).
C. \((-\infty; 4)\).
D. \((0; +\infty)\).
Câu 13. Gọi \(S\) là tập hợp các giá trị của tham số \(m\) để tiệm cận của đồ thị hàm số \[y = \frac{mx^2 + x - 3}{x - 1}\] tạo với hai trục tọa độ \(Oxy\) một tam giác có diện tích bằng 2. Tổng các phần tử của tập hợp \(S\) bằng
A. \(\frac{11}{2}\).
B. \(-\frac{11}{2}\).
C. \(-\frac{5}{2}\).
D. \(-5\).
Câu 14. Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm liên tục trên \(\mathbb{R}\). Đồ thị của hàm số \(y = f'(x)\) được cho bởi hình vẽ dưới đây.