Tài liệu khảo sát đội tuyển học sinh giỏi môn Toán lớp 12 của trường THPT Tống Duy Tân gồm các câu hỏi trắc nghiệm từ cơ bản đến nâng cao, bao gồm giải tích, hình học không gian Oxyz, xác suất thống kê và lượng giác.
PHẦN I. Câu hỏi trắc nghiệm
Câu 1. Tập nghiệm của bất phương trình \[ \log_2(3x - 1) > 3 \] là?
A. \( S = (3; +\infty) \).
B. \( S = \left(\frac{10}{3}; +\infty\right) \).
C. \( S = \left(\frac{1}{3}; 3\right) \).
D. \( S = (-\infty; 3) \).
A. \( S = (3; +\infty) \).
B. \( S = \left(\frac{10}{3}; +\infty\right) \).
C. \( S = \left(\frac{1}{3}; 3\right) \).
D. \( S = (-\infty; 3) \).
Câu 2. Đồ thị hàm số \( y = f(x) \) đối xứng với đồ thị hàm số \( y = a^x \) (\( a > 0, a \neq 1 \)) qua điểm \( I(1; 1) \). Giá trị của biểu thức \( f\left(2 + \log_a \frac{1}{2023}\right) \) bằng
A. 2024.
B. -2023.
C. -2021.
D. 2022.
A. 2024.
B. -2023.
C. -2021.
D. 2022.
Câu 3. Đường cong trong hình vẽ bên là đồ thị của một trong bốn hàm số bên dưới, đó là hàm số nào?
A. \( y = x^3 + 3x^2 - 3x + 1 \).
B. \( y = -x^3 - 2x^2 + x - 2 \).
C. \( y = -x^3 + 3x + 1 \).
D. \( y = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \).
A. \( y = x^3 + 3x^2 - 3x + 1 \).
B. \( y = -x^3 - 2x^2 + x - 2 \).
C. \( y = -x^3 + 3x + 1 \).
D. \( y = x^3 + 3x^2 + 3x + 1 \).
Câu 4. Cho hàm số \( y = f(x) \) có đạo hàm trên \(\mathbb{R}\) và hàm số \( y = f'(x) \) là hàm số bậc ba có đồ thị là đường cong như hình vẽ. Hàm số \( y = f(x) \) đồng biến trên khoảng nào sau đây?
A. \(-\infty; 1) \).
B. \( (0; +\infty) \).
C. \( (1; +\infty) \).
D. \( (-\infty; -2) \).
A. \(-\infty; 1) \).
B. \( (0; +\infty) \).
C. \( (1; +\infty) \).
D. \( (-\infty; -2) \).
Câu 5. Cho tứ diện đều \( ABCD \) có tất cả các cạnh bằng 6. Tính tích vô hướng \( \vec{AB} \cdot \vec{CD} \).
A. 0.
B. -12.
C. 12.
D. 36.
A. 0.
B. -12.
C. 12.
D. 36.
Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ \( Oxyz \), cho hình bình hành \( ABCD \) có ba đỉnh \( A(1; 1; -2) \), \( B(4; 3; 1) \) và \( C(-1; -2; 2) \). Tọa độ đỉnh \( D \) là
A. \( D(4; 4; -1) \).
B. \( D(2; 0; 5) \).
C. \( D(-4; -4; -1) \).
D. \( D(2; 0; -5) \).
A. \( D(4; 4; -1) \).
B. \( D(2; 0; 5) \).
C. \( D(-4; -4; -1) \).
D. \( D(2; 0; -5) \).
Câu 7. Trong không gian \( Oxyz \), cho tam giác \( ABC \) với \( A(8; 9; 2) \), \( B(3; 5; 1) \), \( C(11; 10; 4) \). Số đo góc \( A \) của tam giác \( ABC \) là
A. \( 120^\circ \).
B. \( 30^\circ \).
C. \( 150^\circ \).
D. \( 60^\circ \).
A. \( 120^\circ \).
B. \( 30^\circ \).
C. \( 150^\circ \).
D. \( 60^\circ \).
Câu 8. Trong không gian \( Oxyz \) cho trước (đơn vị đo lấy theo kilômét), rađa phát hiện một chiếc máy bay di chuyển với vận tốc và hướng không đổi từ điểm \( A(400; 300; 6) \) đến điểm \( B(520; 410; 7) \) trong 10 phút. Nếu máy bay tiếp tục giữ nguyên vận tốc và hướng bay thì tọa độ của máy bay sau 20 phút tiếp theo là \( D(x; y; z) \). Khi đó \( x + y + z \) bằng
A. \(\frac{1863}{2}\).
B. 1278.
C. \(\frac{2105}{2}\).
D. 1399.
A. \(\frac{1863}{2}\).
B. 1278.
C. \(\frac{2105}{2}\).
D. 1399.
Câu 9. Trong không gian, xét hệ tọa độ \( Oxyz \) có gốc \( O \) trùng với vị trí của một giàn khoan trên biển, mặt phẳng \( (Oxy) \) trùng với mặt biển với trục \( Ox \) hướng về phía tây, trục \( Oy \) hướng về phía nam và trục \( Oz \) hướng thẳng đứng lên trời. Đơn vị đo trong không gian \( Oxyz \) lấy theo kilômét. Một chiếc ra đa đặt tại giàn khoan và một chiếc tàu thám hiểm có tọa độ là \( (30; 25; -15) \). Tính khoảng cách theo đơn vị kilômét từ chiếc ra đa và một chiếc tàu thám hiểm. (Kết quả làm tròn lấy một chữ số thập phân).
A. 41,8 km.
B. 31,8 km.
C. 41,9 km.
D. 31,9 km.
A. 41,8 km.
B. 31,8 km.
C. 41,9 km.
D. 31,9 km.
Câu 10. Trong một công viên người ta xếp một số chậu hoa thành các hàng để trang trí theo cách như sau: Hàng 1 xếp 30 chậu, hàng 2 xếp 32 chậu, hàng 3 xếp 34 chậu, ... (hàng sau nhiều hơn hàng phía trước 2 chậu). Tổng cộng đã sử dụng hết 440 chậu hoa. Số hàng xếp được là
A. 10.
B. 12.
C. 9.
D. 11.
A. 10.
B. 12.
C. 9.
D. 11.
Câu 11. Hàm số \( y = \log_a x \) và \( y = \log_b x \) có đồ thị như hình vẽ bên. Đường thẳng \( y = 3 \) cắt hai đồ thị tại các điểm có hoành độ \( x_1, x_2 \). Biết rằng \( x_2 = 2x_1 \), giá trị của \( \frac{a}{b} \) bằng
A. \(\frac{1}{3}\).
B. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).
C. \(\sqrt{3}\).
D. 2.
A. \(\frac{1}{3}\).
B. \(\frac{\sqrt{3}}{2}\).
C. \(\sqrt{3}\).
D. 2.
Câu 12. Một hộp đựng chín quả cầu giống nhau được đánh số từ 1 đến 9. Hỏi phải lấy ra ít nhất bao nhiêu quả cầu để xác suất có ít nhất một quả ghi số chia hết cho 4 phải lớn hơn \(\frac{5}{6}\)?
A. 8.
B. 6.
C. 7.
D. 5.
A. 8.
B. 6.
C. 7.
D. 5.
Câu 13. Có bao nhiêu cách xếp 2 học sinh nam và 3 học sinh nữ thành một hàng ngang sao cho bên cạnh học sinh nam nào cũng có ít nhất một học sinh nữ.
A. 12.
B. 96.
C. 24.
D. 48.
A. 12.
B. 96.
C. 24.
D. 48.
Câu 14. Gọi giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số \( y = 3\sin x + 4\cos x + 1 \) là \( M \) và \( m \), tính giá trị của biểu thức \( S = 2M + m \).
A. \( S = 12 \).
B. \( S = 6 \).
C. \( S = 2 \).
D. \( S = 8 \).
A. \( S = 12 \).
B. \( S = 6 \).
C. \( S = 2 \).
D. \( S = 8 \).