Nội dung tóm tắt: Đề thi chọn học sinh giỏi cấp tỉnh môn Toán dành cho học sinh THPT năm học 2025 - 2026 do Sở Giáo dục và Đào tạo tỉnh Cà Mau tổ chức. Đề thi gồm 06 bài tập tự luận bao quát các chủ đề: đại số, bất phương trình, tổ hợp - xác suất, hình học không gian, hình học tọa độ, hình học phẳng và bất đẳng thức đại số.
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Bài 1 (4,0 điểm).
a) Giải phương trình: \(x^2 + x + \sqrt{3x + 10} = 10\).
b) Giải bất phương trình: \(\log_9 x^2 + \log_3 (x + 5) \le \log_3 (5x + 9)\).
Bài 2 (3,5 điểm). Cho một hình vuông có cạnh bằng 5. Trên mỗi cạnh của hình vuông, xác định 4 điểm sao cho chúng chia cạnh đó thành 5 đoạn thẳng bằng nhau. Gọi \(S\) là tập hợp gồm 16 điểm vừa xác định và 4 đỉnh của hình vuông.
a) Có bao nhiêu cách chọn 2 điểm trong \(S\) sao cho khoảng cách giữa chúng đúng bằng 5?
b) Chọn ngẫu nhiên đồng thời 2 điểm trong \(S\), tính xác suất để 2 điểm được chọn có khoảng cách không lớn hơn 5.
Bài 3 (3,5 điểm). Xét dãy các hình phẳng \((K_n)_{n \ge 0}\) được xác định như sau: \(K_0\) là một lục giác đều có độ dài cạnh bằng 1. Với mỗi số tự nhiên \(n\), hình \(K_{n+1}\) được tạo thành từ hình \(K_n\) bằng cách như sau: Chia mỗi cạnh của \(K_n\) thành 3 đoạn thẳng bằng nhau; trên đoạn thẳng ở chính giữa, dựng một tam giác đều nằm về phía trong của \(K_n\), sau đó thay thế đoạn thẳng này bởi đường gấp khúc gồm hai cạnh còn lại của tam giác đều vừa dựng.
Kí hiệu \(s_n\) là diện tích của hình \(K_n\), tính \(\lim_{n \to +\infty} s_n\).
Bài 4 (3,0 điểm). Cho hình lăng trụ \(ABC.A'B'C'\) có đáy \(A'B'C'\) là tam giác vuông cân tại \(A'\), hình chiếu của \(A\) lên mặt phẳng \((A'B'C')\) trùng với trung điểm \(M\) của cạnh \(B'C'\). Biết \(A'B' = 1, AM = 2\).
a) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng \(AA'\) và \(B'C'\).
b) Gọi \(N\) là trung điểm của \(A'C'\). Tính côsin của góc giữa hai đường thẳng \(BC'\) và \(B'N\).
Bài 5 (5,0 điểm).
a) Trên mặt phẳng tọa độ \(Oxy\), lấy các điểm \(A, B\) tùy ý lần lượt thuộc các tia \(Ox, Oy\) (\(A, B \ne O\)). Gọi \(M, N\) là các điểm thuộc đoạn thẳng \(AB\) sao cho chúng chia đoạn thẳng \(AB\) thành 3 đoạn thẳng bằng nhau. Chứng minh rằng \(\tan \widehat{MON} \le \frac{3}{4}\).
b) Trong mặt phẳng, cho tam giác nhọn \(ABC\) và một điểm \(M\) di động trên cạnh \(BC\). Gọi \(N\) là điểm đối xứng với \(M\) qua trung điểm của \(BC\). Đường thẳng qua \(M\) và vuông góc với \(BC\) cắt đường thẳng \(AB\) tại \(D\), đường thẳng qua \(N\) và vuông góc với \(BC\) cắt đường thẳng \(AC\) tại \(E\). Giả sử \(ME\) cắt \(ND\) tại \(P\) và \(AP\) cắt \(BC\) tại \(Q\). Chứng minh rằng \(Q\) là một điểm cố định (khi \(M\) di động trên \(BC\)).
Bài 6 (1,0 điểm). Cho \(x, y, z\) là các số thực thay đổi, thỏa mãn \(x^2 + y^2 + z^2 + x + y + z = \frac{4}{3}\). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức \[P = \frac{x}{x^2 + 1} + \frac{y}{y^2 + 1} + \frac{z}{z^2 + 1}.\]