TÓM TẮT ĐỀ THI
Nội dung đề thi chọn đội tuyển HSG Quốc gia THPT môn Toán tỉnh Quảng Ninh năm học 2025 - 2026 (Ngày thi thứ hai). Đề thi gồm 4 bài toán tự luận thuộc các chủ đề: Dãy số, Phương trình hàm, Hình học phẳng và Số học.
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
Bài 1 (5,0 điểm): Cho dãy số \((u_n)\) xác định bởi:
\[ \begin{cases} u_1 = 4, u_2 = 14; \\ u_{n+2} = 4u_{n+1} - u_n, \forall n \in \mathbb{N}^*. \end{cases} \]a) Chứng minh \( \frac{u_1}{4} + \frac{u_2}{4^2} + \dots + \frac{u_n}{4^n} < 14, \forall n \in \mathbb{N}^* \).
b) Đặt \( s_n = \frac{1}{u_1u_3} + \frac{1}{u_3u_5} + \dots + \frac{1}{u_{2n+1}u_{2n+3}}, \forall n \in \mathbb{N}^* \). Chứng minh dãy số \((s_n)\) có giới hạn hữu hạn và hãy tính giới hạn đó.
Bài 2 (5,0 điểm): Tìm tất cả các hàm số liên tục \( f, g : \mathbb{R} \to \mathbb{R} \) thỏa mãn điều kiện:
\[ \begin{cases} 3f(x) - 2g(x) = -5x, \forall x \in \mathbb{R}; \\ 2f(x) - 3g(x) = -5f(5x - 2), \forall x \in \mathbb{R}. \end{cases} \]Bài 3 (5,0 điểm): Cho tam giác \( ABC \) nhọn, không cân, nội tiếp đường tròn \( (O) \) và ngoại tiếp đường tròn \( (I) \). Gọi \( D, E, F \) lần lượt là các tiếp điểm của \( (I) \) với các cạnh \( BC, CA, AB \). Đường thẳng \( OA \) cắt cung nhỏ \( EF \) của \( (I) \) tại điểm \( M \). Các điểm \( J, K \) lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng \( DF, DE \). Các đường thẳng \( MJ, MK \) lần lượt cắt đường tròn \( (I) \) tại điểm thứ hai \( P, Q \). Các đường thẳng \( BP, CQ \) cắt nhau tại \( S \). Các điểm \( B', C' \) lần lượt đối xứng với \( B, C \) qua \( O \) và \( M' \) đối xứng với \( M \) qua \( A \). Đường thẳng qua \( M' \) song song với \( BC \) cắt các đường thẳng \( AC', AB' \) lần lượt tại \( C_1, B_1 \). Chứng minh rằng các đường thẳng \( AS, BC_1, CB_1 \) đồng quy.
Bài 4 (5,0 điểm): Với mỗi số nguyên dương \( n > 1 \), ký hiệu \( f(n) \) là tổng tất cả các số dư khi chia \( n \) cho các số nguyên dương từ \( 1 \) đến \( n - 1 \). Ví dụ \( f(6) = 0 + 0 + 0 + 2 + 1 = 3 \).
a) Chứng minh rằng với mọi số nguyên dương \( n > 1 \) thì \( f(n) \ge \frac{n^2 - 2n}{8} \).
b) Biết rằng số nguyên dương \( n > 2 \) thỏa mãn \( f(n) - f(n - 1) > n - \sqrt{n} - 1 \). Chứng minh \( n \) là số nguyên tố.