SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH QUẢNG NINH
KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT CHUYÊN HẠ LONG NĂM HỌC 2026 - 2027
Tóm tắt đề thi: Đề thi chính thức tuyển sinh vào lớp 10 THPT Chuyên Hạ Long, tỉnh Quảng Ninh năm học 2026 - 2027 môn Toán (chuyên). Đề thi gồm 5 câu hỏi tự luận thuộc các chủ đề Đại số, Hệ phương trình, Số học, Hình học phẳng và Tổ hợp số học với thời gian làm bài 150 phút.
Câu 1. (2,0 điểm)
a) Cho các số thực \(x, y, z\) thỏa mãn \(x + y + z = 9\) và \((x - 1)(y - 1)(z - 1) = 6\). Tính giá trị biểu thức:
\[A = \frac{1}{xy + z - 8} + \frac{1}{yz + x - 8} + \frac{1}{zx + y - 8}\]b) Một chiếc hộp chứa 6 viên bi màu trắng được đánh số từ 1 đến 6, 7 viên bi màu xanh được đánh số từ 1 đến 7 và 8 viên bi màu đỏ được đánh số từ 1 đến 8. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi trong hộp. Tính xác suất để lấy được hai viên bi có màu khác nhau và số ghi trên hai viên bi đó cũng khác nhau.
Câu 2. (2,0 điểm)
a) Giải phương trình \(x^2 + (x + 2)\sqrt{2x - 1} - 8x - 6 = 0\).
b) Giải hệ phương trình:
\[\begin{cases} y^3 - 2(x + 2)y^2 + x^2 y = 2x^3 + 4x^2 \\ y^2 + (2x + 4)\sqrt{12 - 2y} + x^2 + 5x + 10 = 0 \end{cases}\]Câu 3. (2,0 điểm)
Cho \(m, n\) là hai số nguyên dương thỏa mãn \(2m^2 + mn - 2n^2 + m + n = 0\).
a) Chứng minh rằng \(m + n\) là số chính phương và \(n\) chia hết cho 6.
b) Giả sử \(n\) chỉ có đúng 2 ước nguyên tố. Chứng minh \(n = 144\).
Câu 4. (3,5 điểm)
Cho \(\Delta ABC\) nhọn (\(AB < AC\)) nội tiếp đường tròn \((O)\). Các đường cao \(AD, BE, CF\) đồng quy tại \(H\). Đường thẳng qua \(A\) song song với \(BC\) cắt đường thẳng \(EF\) tại \(I\). Tiếp tuyến tại \(A\) của \((O)\) cắt đường thẳng \(BC\) tại \(J\). Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(BC\) và \(AH\).
a) Chứng minh \(\frac{AI}{AJ} = \frac{EF}{BC}\).
b) Chứng minh \(\Delta ADM \sim \Delta JAO\) và \(IN \perp AM\).
c) Lấy \(O'\) đối xứng với \(O\) qua \(M\). Chứng minh tứ giác \(DNIO'\) nội tiếp.
Câu 5. (0,5 điểm)
Cho 2026 số nguyên dương phân biệt lớn hơn 1 và nhỏ hơn \(2^{45}\). Biết rằng mỗi số trong các số trên không có ước nguyên tố nào khác ngoài 2 và 3. Chứng minh rằng có thể chọn ra một vài số trong 2026 số trên sao cho tích của chúng là lũy thừa với số mũ 45 của một số nguyên dương.