Đề thi khảo sát học sinh giỏi môn Toán cấp trường năm học 2026 - 2027 của Trường THCS Nguyễn Gia Thiều (Phường Phúc Lợi). Đề thi bao gồm 5 câu hỏi tự luận phân hóa cao với thời gian làm bài 90 phút, tập trung vào các chủ đề Rút gọn biểu thức, Phương trình, Số học, Bất đẳng thức, Hình học tam giác và Bài toán điểm trong tam giác.
NỘI DUNG ĐỀ THI KHẢO SÁT HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 2026 - 2027
Bài 1 (4,0 điểm):
1. Rút gọn biểu thức: \( P = \left( \frac{x}{x-3} + \frac{3x+1}{9-x^2} + \frac{x+2}{x+3} \right) : \frac{x^2-6x+9}{x+5} \)
2. Giải phương trình: \( (x^2+16x+63)(x^2-12x+35) = 2304 \)
Bài 2 (6,0 điểm):
1. Tìm tất cả các cặp số nguyên dương \( (x;y) \) thỏa mãn: \[ (2x+5y+1)\left( 2^{|x-1|} + y + x^2 + x \right) = 65 \]
2. Cho đa thức \( f(x) = x^3 + ax^2 + bx + c \) (với \( a, b, c \in \mathbb{R} \)). Biết đa thức \( f(x) \) chia cho đa thức \( x+1 \) dư 2 và chia cho đa thức \( x-2 \) dư 11. Tính giá trị của biểu thức: \[ Q = (2025a + 2023b + c - 4)^{2026} + 1 \]
3. Cho \( a, b, c, d \) là các số nguyên thỏa mãn: \( 5(a^2+b^2) = 13(c^2+d^2) \). Chứng minh rằng: \( a+b+c+d \) chia hết cho 6.
Bài 3 (3,0 điểm):
1. Tìm số tự nhiên \( n \) sao cho biểu thức \( A = 4(n^2-n+6) \) có giá trị là số chính phương.
2. Cho \( a, b, c \) là các số thực thỏa mãn \( abc = 1 \). Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: \[ S = \frac{1}{(a+1)^2 + b^2 + 1} + \frac{1}{(b+1)^2 + c^2 + 1} + \frac{1}{(c+1)^2 + a^2 + 1} \]
Bài 4 (6,0 điểm):
Cho tam giác nhọn \( ABC \). Các đường cao \( AD, BE, CF \) cắt nhau tại \( H \).
a) Chứng minh rằng: Tam giác \( AEF \) đồng dạng với tam giác \( ABC \).
b) Gọi \( M \) là giao điểm của hai đường thẳng \( EF \) và \( BC \). Chứng minh: \( FC \) là tia phân giác của \( \widehat{DFE} \) và \( CM \cdot BD = BM \cdot CD \).
c) Gọi \( I, K, Q, R \) lần lượt là chân các đường vuông góc hạ từ \( E \) xuống \( AB, AD, CF, BC \). Chứng minh rằng: Bốn điểm \( I, K, Q, R \) thẳng hàng.
Bài 5 (1,0 điểm):
Cho 244 điểm phân biệt (trong đó không có ba điểm bất kỳ nào thẳng hàng) nằm trong tam giác đều có diện tích bằng 6. Chứng minh rằng: tồn tại ít nhất một tứ giác có 4 đỉnh là 4 điểm trong 244 điểm đã cho có diện tích nhỏ hơn \( \frac{2}{27} \).