Tóm tắt: Đề thi chọn học sinh giỏi Toán 9 năm học 2026 - 2027 trường THCS Chu Văn An gồm 5 bài toán bao gồm các dạng bài rút gọn biểu thức, chia đa thức dư, phương trình số nguyên tố, bài toán chuyển động thực tế của robot, hình học chứng minh đồng dạng và bài toán chọn số theo nguyên lý Dirichlet. Kèm đáp án và lời giải chi tiết.
ĐỀ KIỂM TRA CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 9
Bài 1 (6,0 điểm).
Cho biểu thức \( P = \left( \frac{\sqrt{x}-2}{x-1} - \frac{\sqrt{x}+2}{x+2\sqrt{x}+1} \right) \cdot \frac{(1-x)^2}{2} \) (với \( x \ge 0, x \neq 1 \)).
a) Rút gọn biểu thức \( P \).
b) Tìm số nguyên \( x \) để biểu thức \( P \) có giá trị là số nguyên.
Bài 2 (4,0 điểm).
a) Tìm dư của đa thức \( P(x) \) khi chia cho đa thức \( x^2 - 1 \), biết rằng \( P(x) \) chia cho \( x - 1 \) dư \( 2 \) và \( P(x) \) chia cho \( x + 1 \) dư \( 4 \).
b) Cho \( a + b + c = 1 \) và \( a^2 + b^2 + c^2 = 1 \). Tính giá trị của biểu thức \( S = a^3 + b^3 + c^3 - 3abc \).
Bài 3 (4,0 điểm).
a) Tìm các số nguyên tố \( p, q \) và số nguyên \( x \) thỏa mãn \( x^2 - pq \cdot x + p^2 q^2 = 0 \).
b) Một Robot chuyển động từ \( A \) đến \( B \) theo cách sau: Sau khi đi được \( 1\text{m} \) dừng lại \( 1 \) giây, rồi đi tiếp \( 2\text{m} \) dừng lại \( 2 \) giây, đi tiếp \( 3\text{m} \) dừng lại \( 3 \) giây, .... cứ như vậy đi từ \( A \) đến \( B \). Quan sát, người ta thấy rằng thời gian robot đi nhiều hơn \( 3 \) lần thời gian robot nghỉ là \( 10 \) giây. Tính khoảng cách từ \( A \) đến \( B \). Biết rằng khi đi Robot luôn có tốc độ là \( 1\text{ m/s} \).
Bài 4 (5,0 điểm).
Cho tam giác \( ABC \) vuông tại \( A \) (\( AB < AC \)). Vẽ đường cao \( AH \) (\( H \in BC \)). Trên tia đối của tia \( AH \) lấy điểm \( D \) sao cho \( AD = AH \). Qua \( D \) kẻ đường thẳng song song với \( AH \), cắt đường thẳng \( AC \) tại \( E \).
a) Chứng minh rằng \( \triangle ABC \sim \triangle EDC \).
b) Gọi \( M \) là trung điểm của \( HC \). Chứng minh tam giác \( AHM \) đồng dạng với tam giác \( ECD \).
c) Tia \( AM \) cắt \( CD \) tại \( K \). Chứng minh \( DK = 2KC \).
Bài 5 (1,0 điểm).
Cho tập hợp \( S = \{1, 3, 5, \dots, 2027\} \) gồm các số tự nhiên lẻ. Cần chọn ra ít nhất bao nhiêu số tự nhiên từ tập \( S \) sao cho trong các số được chọn luôn tồn tại hai số có tổng là \( 2028 \).
ĐÁP ÁN VÀ LỜI GIẢI THAM KHẢO
Bài 1 (6,0 điểm)
a) Rút gọn biểu thức \( P \):
Xét biểu thức trong ngoặc:
\( \frac{\sqrt{x}-2}{x-1} - \frac{\sqrt{x}+2}{x+2\sqrt{x}+1} = \frac{\sqrt{x}-2}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)} - \frac{\sqrt{x}+2}{(\sqrt{x}+1)^2} \)
Quy đồng mẫu thức chung là \( (\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)^2 \):
\( = \frac{(\sqrt{x}-2)(\sqrt{x}+1) - (\sqrt{x}+2)(\sqrt{x}-1)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)^2} = \frac{(x - \sqrt{x} - 2) - (x + \sqrt{x} - 2)}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)^2} = \frac{-2\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)^2} \)
Biểu thức bị chia:
\( \frac{(1-x)^2}{2} = \frac{[(1-\sqrt{x})(1+\sqrt{x})]^2}{2} = \frac{(\sqrt{x}-1)^2(\sqrt{x}+1)^2}{2} \)
Do đó:
\( P = \frac{-2\sqrt{x}}{(\sqrt{x}-1)(\sqrt{x}+1)^2} \cdot \frac{(\sqrt{x}-1)^2(\sqrt{x}+1)^2}{2} = -\sqrt{x}(\sqrt{x}-1) = -x + \sqrt{x} \)
Vậy với \( x \ge 0 \) và \( x \neq 1 \), ta có \( P = \sqrt{x} - x \).
b) Tìm số nguyên \( x \) để \( P \) có giá trị nguyên:
Để \( P = \sqrt{x} - x \) nhận giá trị nguyên với \( x \) nguyên thì \( \sqrt{x} \) phải là số nguyên (vì \( x \) đã nguyên).
Do đó \( x \) phải là số chính phương. Do \( x \ge 0, x \neq 1 \), các giá trị nguyên thỏa mãn là \( x \in \{0, 4, 9, 16, \dots\} \) hay \( x = k^2 \) với \( k \in \mathbb{N}, k \neq 1 \).
Bài 2 (4,0 điểm)
a) Giả sử dư của \( P(x) \) khi chia cho \( x^2 - 1 \) có dạng \( R(x) = ax + b \).
Khi đó \( P(x) = (x^2 - 1)Q(x) + ax + b \).
Theo đề bài: \( P(1) = 2 \Rightarrow a + b = 2 \); \( P(-1) = 4 \Rightarrow -a + b = 4 \).
Giải hệ ta được \( a = -1, b = 3 \). Vậy phần dư là \( -x + 3 \).
b) Ta có \( (a+b+c)^2 = a^2+b^2+c^2 + 2(ab+bc+ca) \Rightarrow 1^2 = 1 + 2(ab+bc+ca) \Rightarrow ab+bc+ca = 0 \).
Đồng thời \( a^3+b^3+c^3 - 3abc = (a+b+c)(a^2+b^2+c^2 - ab - bc - ca) = 1 \cdot (1 - 0) = 1 \).
Bài 3 (4,0 điểm)
a) Phương trình \( x^2 - pq \cdot x + p^2 q^2 = 0 \) có \( \Delta = p^2 q^2 - 4p^2 q^2 = -3p^2 q^2 < 0 \) với mọi số nguyên tố \( p, q \). Do đó không tồn tại số nguyên \( x \) thỏa mãn.
b) Gọi \( n \) là số lần dừng nghỉ. Tổng thời gian nghỉ là \( T_{nghỉ} = 1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2} \) (giây).
Tổng thời gian đi trong \( n \) chặng tương ứng là \( T_{đi} = 1 + 2 + \dots + n = \frac{n(n+1)}{2} \) (giây).
Thời gian đi chặng cuối cùng là \( t_x \). Tổng thời gian đi là \( \frac{n(n+1)}{2} + t_x \).
Theo đề: \( T_{đi} - 3 T_{nghỉ} = 10 \Rightarrow t_x - n(n+1) = 10 \).
Vì \( 0 < t_x \le n+1 \), ta tính được \( n = 3 \), suy ra \( t_x = 22 \) (s). Khoảng cách từ \( A \) đến \( B \) là \( 1 + 2 + 3 + 4 + 22 = 32\text{ m} \).
Bài 4 (5,0 điểm)
a) Chứng minh \( \triangle ABC \sim \triangle EDC \) (g-g) do có góc \( C \) chung và \( \widehat{BAC} = \widehat{DEC} = 90^\circ \).
b) Sử dụng tỉ số đồng dạng và trung điểm \( M \) của \( HC \) để suy ra \( \triangle AHM \sim \triangle ECD \).
c) Sử dụng tỉ số diện tích và khoảng cách suy ra \( DK = 2KC \).
Bài 5 (1,0 điểm)
Tập \( S \) có \( 1014 \) phần tử. Các cặp số lẻ có tổng bằng \( 2028 \) là \( (3, 2025), (5, 2023), \dots, (1013, 1015) \) gồm \( 506 \) cặp. Hai số lẻ không tạo thành cặp là \( 1 \) và \( 1014 \) không thuộc tập lẻ. Theo nguyên lý Dirichlet, số phần tử ít nhất cần chọn là \( 508 \) số.