ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN – KHỐI 9
Bài 1 (4,0 điểm). Cho biểu thức \[ A = \frac{x\sqrt{x} + 5\sqrt{x} + 6}{x - 2\sqrt{x} - 3} - \frac{x - 7\sqrt{x} - 8}{x + 2\sqrt{x} + 1} - \frac{2x + 10\sqrt{x} + 12}{x - \sqrt{x} - 6} \] với \(x \ge 0, x \ne 9\).
1) Rút gọn \(A\).
2) Tìm tất cả các giá trị nguyên dương của \(x\) để \(\frac{8}{A}\) nhận giá trị nguyên.
Bài 2 (4,0 điểm).
1) Giải hệ phương trình \[ \begin{cases} x^2 + y^2 + \frac{2xy}{x+y} = 1 \\ (2x+5y)^2 = x+y \end{cases} \]
2) Giải phương trình: \[ \sqrt{3-4x} + \sqrt{4x+1} = -16x^2 - 8x + 1 \]
Bài 3 (4,0 điểm).
1) Cho các số nguyên \(a,b,c\) thỏa mãn \[ \frac{a^2}{a^2+b^2} + \frac{c^2}{a^2+c^2} = \frac{2c}{b+c} \] Chứng minh \(bc\) là một số chính phương.
2) Tìm số nguyên \(x\) để có số hữu tỉ \(y\) thỏa mãn \(x^2 + x + 23 = y^2\).
Bài 4 (4,0 điểm).
Cho tam giác \(ABC\) nhọn, \(\widehat{C} = 45^\circ\), các đường cao \(AD, BE\) cắt nhau tại \(H\). Gọi \(M, N\) lần lượt là trung điểm của \(AB\) và \(CH\). Gọi \(O\) là giao điểm ba đường trung trực của tam giác \(ABC\).
1) Chứng minh tứ giác \(DMEN\) là hình vuông;
2) Chứng minh ba đường thẳng \(MN, DE\) và \(OH\) đồng quy;
3) Tính tỉ số diện tích tam giác \(CDE\) và diện tích tứ giác \(ABDE\);
4) Chứng minh \(BE^2 > 2 \cdot AD \cdot DH\).
Bài 5 (4,0 điểm).
1) Cho hình thoi \(ABCD\) có \(\widehat{ABD} = 60^\circ\), \(P\) là một điểm thuộc cạnh \(AB\) (\(P \ne A, B\)). Gọi \(N\) là giao điểm của hai đường thẳng \(AD\) và \(CP\); \(M\) là giao điểm của \(BN\) và \(DP\). Tính số đo \(\widehat{DMB}\).
2) Cho tập hợp \(X = \{1; 2; 3; \dots; 2025\}\). Số tự nhiên \(k\) được gọi là số may mắn nếu với mọi cách lấy \(k\) phần tử bất kỳ thuộc \(X\) thì luôn tồn tại hai phần tử \(a, b\) (\(a > b\)) trong \(k\) phần tử được lấy mà \(a+b\) chia hết cho \(a-b\).
a) Chứng minh 675 không là số may mắn.
b) Tìm số may mắn nhỏ nhất.