Ghi chú: Tài liệu tóm lược lý thuyết trọng tâm giữa học kỳ 1 Toán 12 theo chương trình mới năm học 2026 - 2027. Nội dung 2 trang đầu bao gồm phương pháp khảo sát tính đơn điệu, tìm cực trị của hàm số và quy trình xác định giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng và đoạn.
A. LÝ THUYẾT TRỌNG TÂM
Cấu trúc nội dung ôn tập:
- Bài 1: Tính đơn điệu và cực trị của hàm số (Các bước xét tính đơn điệu và tìm cực trị).
- Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số (Định nghĩa; Tìm GTLN và GTNN trên khoảng \((a; b)\); Tìm GTLN và GTNN trên đoạn \([a; b]\)).
- Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số (Tiệm cận ngang, tiệm cận đứng, tiệm cận xiên).
- Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số.
- Bài 5: Ứng dụng đạo hàm giải quyết bài toán thực tiễn (Vật lý, Hóa học, Sinh học, Kinh tế).
BÀI 1: TÍNH ĐƠN ĐIỆU VÀ CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ
Dựa vào đồ thị hàm số, các khái niệm cần ghi nhớ:
- Các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số tương ứng với phần đồ thị đi lên hoặc đi xuống từ trái sang phải.
- \(x_1, x_2, x_3, x_4\) là các điểm cực trị của hàm số:
- \(x_1, x_3\) là các điểm cực đại.
- \(x_2, x_4\) là các điểm cực tiểu.
- \(f(x_1), f(x_2), f(x_3), f(x_4)\) là các giá trị cực trị:
- \(f(x_1), f(x_3)\) là các giá trị cực đại.
- \(f(x_2), f(x_4)\) là các giá trị cực tiểu.
- Tọa độ các điểm \((x_1; f(x_1)), (x_2; f(x_2)), (x_3; f(x_3)), (x_4; f(x_4))\) là các điểm cực trị của đồ thị hàm số:
- \((x_1; f(x_1)), (x_3; f(x_3))\) là các điểm cực đại của đồ thị hàm số.
- \((x_2; f(x_2)), (x_4; f(x_4))\) là các điểm cực tiểu của đồ thị hàm số.
Các bước xét tính đơn điệu của hàm số \(y = f(x)\):
- Tìm tập xác định của hàm số.
- Tính đạo hàm \(f'(x)\). Tìm các điểm \(x_i\) (với \(i = 1, 2, \dots\)) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
- Sắp xếp các điểm \(x_i\) theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên của hàm số.
- Nêu kết luận về khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến của hàm số.
Các bước tìm cực trị của hàm số \(y = f(x)\):
- Tìm tập xác định của hàm số.
- Tính đạo hàm \(f'(x)\). Tìm các điểm \(x_i\) (với \(i = 1, 2, \dots\)) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không xác định.
- Lập bảng biến thiên của hàm số.
- Từ bảng biến thiên kết luận các điểm cực trị, giá trị cực trị của hàm số.
BÀI 2: GIÁ TRỊ LỚN NHẤT VÀ GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT CỦA HÀM SỐ
1. Định nghĩa:
Cho hàm số \(y = f(x)\) xác định trên tập \(D\).
- Số \(M\) được gọi là giá trị lớn nhất của hàm số \(y = f(x)\) trên tập \(D\) nếu \(f(x) \le M\) với mọi \(x \in D\) và tồn tại \(x_0 \in D\) sao cho \(f(x_0) = M\). Kí hiệu: \[ M = \max_{x \in D} f(x) \quad \text{hoặc} \quad M = \max_{D} f(x) \]
- Số \(m\) được gọi là giá trị nhỏ nhất của hàm số \(y = f(x)\) trên tập \(D\) nếu \(f(x) \ge m\) với mọi \(x \in D\) và tồn tại \(x_0 \in D\) sao cho \(f(x_0) = m\). Kí hiệu: \[ m = \min_{x \in D} f(x) \quad \text{hoặc} \quad m = \min_{D} f(x) \]
2. Cách tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên khoảng \((a; b)\):
- Lập bảng biến thiên của hàm số trên khoảng \((a; b)\).
- Từ bảng biến thiên suy ra giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số trên khoảng \((a; b)\) (nếu có).
3. Cách tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số trên đoạn \([a; b]\):
Giả sử \(y = f(x)\) liên tục trên \([a; b]\) và có đạo hàm trên \((a; b)\), có thể trừ ra tại một số hữu hạn điểm không có đạo hàm. Giả sử chỉ có hữu hạn điểm trong đoạn \([a; b]\) mà đạo hàm \(f'(x) = 0\).
- Tìm các điểm \(x_1, x_2, \dots, x_n \in (a; b)\) tại đó \(f'(x) = 0\) hoặc đạo hàm không tồn tại.
- Tính các giá trị: \(f(x_1), f(x_2), \dots, f(x_n), f(a)\) và \(f(b)\).
- Tìm số lớn nhất \(M\) và số nhỏ nhất \(m\) trong tập hợp các số vừa tính. Ta kết luận: \[ M = \max_{[a; b]} f(x), \quad m = \min_{[a; b]} f(x) \]