Tóm tắt kiến thức trọng tâm về tính đơn điệu của hàm số (đồng biến, nghịch biến), mối liên hệ giữa đạo hàm và sự biến thiên của hàm số cùng quy trình các bước lập bảng biến thiên để xét tính đơn điệu chi tiết thuộc chương trình Toán 12.
I. TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ
1. Khái niệm tính đơn điệu của hàm số
Giả sử \(K\) là một khoảng, một đoạn hoặc một nửa khoảng và \(y = f(x)\) là hàm số xác định trên \(K\).
- Hàm số \(y = f(x)\) được gọi là đồng biến trên \(K\) nếu \(\forall x_1, x_2 \in K, x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) < f(x_2)\).
- Hàm số \(y = f(x)\) được gọi là nghịch biến trên \(K\) nếu \(\forall x_1, x_2 \in K, x_1 < x_2 \Rightarrow f(x_1) > f(x_2)\).
Chú ý:
- Nếu hàm số đồng biến trên \(K\) thì đồ thị của hàm số đi lên từ trái sang phải.
- Nếu hàm số nghịch biến trên \(K\) thì đồ thị của hàm số đi xuống từ trái sang phải.
- Hàm số đồng biến hay nghịch biến trên \(K\) còn được gọi chung là đơn điệu trên \(K\). Việc tìm các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số còn được gọi là tìm các khoảng đơn điệu (hay xét tính đơn điệu) của hàm số.
- Khi xét tính đơn điệu của hàm số mà không chỉ rõ tập \(K\) thì ta hiểu là xét trên tập xác định của hàm số đó.
ĐỊNH LÍ
Cho hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm trên khoảng \(K\).
- a) Nếu \(f'(x) > 0\) với mọi \(x \in K\) thì hàm số \(f(x)\) đồng biến trên khoảng \(K\).
- b) Nếu \(f'(x) < 0\) với mọi \(x \in K\) thì hàm số \(f(x)\) nghịch biến trên khoảng \(K\).
Chú ý:
- Định lí trên vẫn đúng trong trường hợp \(f'(x) = 0\) tại một số hữu hạn điểm trong khoảng \(K\).
- Người ta chứng minh được rằng, nếu \(f'(x) = 0\) với mọi \(x \in K\) thì hàm số \(f(x)\) không đổi trên khoảng \(K\).
2. Sử dụng bảng biến thiên xét tính đơn điệu của hàm số
Các bước để xét tính đơn điệu của hàm số \(y = f(x)\):
- Tìm tập xác định của hàm số.
- Tính đạo hàm \(f'(x)\). Tìm các điểm \(x_i \ (i = 1, 2, ...)\) mà tại đó đạo hàm bằng 0 hoặc không tồn tại.
- Sắp xếp các điểm \(x_i\) theo thứ tự tăng dần và lập bảng biến thiên của hàm số.
- Nêu kết luận về khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số.