ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI MÔN TOÁN 9 - THCS CHU VĂN AN
Bài 1. (2,0 điểm)
a) Trong một hộp kín, đựng 6 quả bóng đen và \(x\) (\(x \ge 2; x \in \mathbb{N}\)) quả bóng vàng. Tất cả các quả bóng đều có hình dạng và kích thước giống hệt nhau. Lấy ngẫu nhiên một quả bóng trong hộp (không trả lại), sau đó tiếp tục lấy một quả bóng nữa từ các quả bóng còn lại trong hộp (cũng không trả lại). Biết xác suất để cả hai quả bóng được lấy ra đều màu đen bằng \(\frac{1}{8}\). Hãy tìm giá trị của \(x\)?
b) Một cửa hàng bán điện thoại di động nhập về một lô hàng với giá 3 000 000 đồng một chiếc. Cửa hàng bán 60% số điện thoại với giá 4 500 000 đồng một chiếc. Số điện thoại còn lại bán với giá 2 500 000 đồng một chiếc. Hỏi số điện thoại trong lô hàng phải là số nguyên nhỏ nhất bao nhiêu để cửa hàng có lãi ít nhất 10 000 000 đồng?
Bài 2. (2,0 điểm)
a) Cho \(a, b, c\) thỏa mãn \(\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}=7\); \(a+b+c=23\); \(\sqrt{abc}=3\). Tính giá trị biểu thức:
\[H = \frac{1}{\sqrt{ab}+\sqrt{c}-6} + \frac{1}{\sqrt{bc}+\sqrt{a}-6} + \frac{1}{\sqrt{ca}+\sqrt{b}-6}\]b) Giải phương trình sau: \(x^2 - x - 4 = 2\sqrt{x-1}(1-x)\)
Bài 3. (3,0 điểm)
Cho ba điểm \(A, B, C\) cố định nằm trên một đường thẳng \(d\) (điểm \(B\) nằm giữa điểm \(A\) và điểm \(C\)). Vẽ đường tròn tâm \(O\) thay đổi nhưng luôn đi qua điểm \(B\) và điểm \(C\) (điểm \(O\) không thuộc đường thẳng \(d\)). Kẻ \(AM; AN\) là các tiếp tuyến với đường tròn tâm \(O\) (với \(M; N\) là các tiếp điểm). Đường thẳng \(BC\) cắt \(MN\) tại điểm \(K\). Đường thẳng \(AO\) cắt \(MN\) tại điểm \(H\) và cắt đường tròn tại các điểm \(P\) và điểm \(Q\) (\(P\) nằm giữa \(A; Q\)).
a) Chứng minh bốn điểm \(A, M, O, N\) cùng thuộc một đường tròn.
b) Chứng minh điểm \(K\) cố định khi đường tròn tâm \(O\) thay đổi.
c) Gọi \(D\) là trung điểm của \(HQ\), từ \(H\) kẻ đường thẳng vuông góc với \(MD\) cắt đường thẳng \(MP\) tại \(E\). Chứng minh \(P\) là trung điểm của \(ME\).
Bài 4. (1,0 điểm)
Cho ba số thực \(a, b, c\) dương. Chứng minh rằng:
\[\frac{a^3}{\sqrt{a^3+(b+c)^3}} + \frac{b^3}{\sqrt{b^3+(c+a)^3}} + \frac{c^3}{\sqrt{c^3+(a+b)^3}} \ge 1\]Bài 5. (2,0 điểm)
a) Tìm tất cả các số nguyên dương \(a, b\) sao cho \(a+b^2\) chia hết cho \(a^2b-1\).
b) Trong hình vuông mà độ dài mỗi cạnh là 4 cho trước 33 điểm phân biệt, trong đó không có ba điểm nào thẳng hàng. Người ta vẽ các đường tròn có bán kính đều bằng \(\sqrt{2}\), có tâm là các điểm đã cho. Hỏi có hay không ba điểm trong số các điểm nói trên sao cho chúng đều thuộc vào phần chung của ba hình tròn có các tâm cũng chính là ba điểm đó?