Tóm tắt trọng tâm chuyên đề Xác suất có điều kiện:
- Dạng 1: Thu hẹp không gian mẫu – đếm trực tiếp: Dùng khi biến cố điều kiện xác định một không gian mẫu mới hẹp hơn không gian mẫu ban đầu. Cần phân biệt rõ các cụm từ điều kiện (ví dụ: "ít nhất một" khác hoàn toàn với thứ tự cụ thể như "đầu lòng").
- Dạng 2: Dữ kiện tỉ lệ – Dùng định nghĩa: Sử dụng bảng xác suất liên kết 2 chiều kích thước \(2 \times 2\) kết hợp công thức xác suất có điều kiện \(P(A|B) = \frac{P(AB)}{P(B)}\).
- Dạng 3: Công thức nhân xác suất: Dùng cho chuỗi phép thử liên tiếp phụ thuộc lẫn nhau, tiền đề cho mô hình xích Markov cơ bản.
III. CÁC DẠNG TOÁN VÀ VÍ DỤ MINH HOẠ
Dạng 1. Thu hẹp không gian mẫu – đếm trực tiếp
Ví dụ 1: Gieo ba con xúc xắc cân đối.
a) Tính xác suất tổng số chấm bằng 8 nếu biết có ít nhất một con ra 1 chấm.
b) Tính xác suất tổng số chấm bằng 8 và có ít nhất một con ra 1 chấm.
a) Gọi \(A\): “tổng bằng 8”, \(B\): “có ít nhất một con ra 1 chấm”.
Biến cố đối \(\overline{B}\) có \(5^3 = 125\) kết quả nên \(n(B) = 216 - 125 = 91\).
Các bộ có tổng 8 chứa số 1 gồm:
- Hoán vị của \((1; 1; 6)\): 3 bộ
- Hoán vị của \((1; 2; 5)\): 6 bộ
- Hoán vị của \((1; 3; 4)\): 6 bộ
Tổng cộng có 15 kết quả thuận lợi. Vậy:
\[P(A \mid B) = \frac{15}{91} \approx 0{,}165\]b) \[P(AB) = \frac{15}{216} = \frac{5}{72} \approx 0{,}069\] (nhỏ hơn gần 2,4 lần. Chữ “nếu” đã đổi mẫu số từ 216 thành 91).
Ví dụ 2 (bài toán hai đứa trẻ): Một gia đình có hai con (xác suất sinh trai, gái như nhau).
a) Biết gia đình có ít nhất một con trai, tính xác suất cả hai đều là trai.
b) Biết con đầu lòng là trai, tính xác suất cả hai đều là trai.
Không gian mẫu ban đầu: \(\{TT, TG, GT, GG\}\).
a) Điều kiện có ít nhất một con trai làm không gian mẫu thu hẹp còn \(\{TT, TG, GT\}\), do đó đáp số là \(\frac{1}{3}\).
b) Điều kiện con đầu lòng là trai làm không gian mẫu thu hẹp còn \(\{TT, TG\}\), do đó đáp số là \(\frac{1}{2}\).
Nhận xét: Hai câu hỏi tưởng như giống nhau nhưng thông tin cung cấp khác nhau: “ít nhất một” không chỉ rõ vị trí đứa nào, còn “đầu lòng” xác định cố định một đứa, dẫn đến việc không gian mẫu bị thu hẹp khác nhau.
Dạng 2. Dữ kiện cho dưới dạng tỉ lệ – dùng định nghĩa
Ví dụ 3: Một công ty dự thầu hai dự án. Xác suất thắng thầu dự án 1 là \(0{,}4\); dự án 2 là \(0{,}5\); cả hai dự án là \(0{,}3\). Tính xác suất công ty:
a) Chỉ thắng một dự án;
b) Thắng dự án 2, biết đã thắng dự án 1;
c) Thắng dự án 2, biết đã trượt dự án 1;
d) Thắng dự án 1, biết đã thắng dự án 2.
Gọi \(A, B\) lần lượt là biến cố thắng thầu dự án 1 và dự án 2. Lập bảng xác suất \(2 \times 2\) (mỗi ô được xác định nhờ tổng hàng và tổng cột):
| \(B\) | \(\overline{B}\) | Tổng | |
|---|---|---|---|
| \(A\) | \(0{,}3\) | \(0{,}1\) | \(0{,}4\) |
| \(\overline{A}\) | \(0{,}2\) | \(0{,}4\) | \(0{,}6\) |
| Tổng | \(0{,}5\) | \(0{,}5\) | \(1\) |
a) Xác suất chỉ thắng một dự án: \[0{,}1 + 0{,}2 = 0{,}3\]
b) \[P(B \mid A) = \frac{0{,}3}{0{,}4} = 0{,}75\]
c) \[P(B \mid \overline{A}) = \frac{0{,}2}{0{,}6} = \frac{1}{3}\]
d) \[P(A \mid B) = \frac{0{,}3}{0{,}5} = 0{,}6\]
Lưu ý: Vì \(0{,}4 \cdot 0{,}5 = 0{,}2 \neq 0{,}3\), hai biến cố không độc lập (thắng dự án này làm tăng cơ hội thắng ở dự án kia). Đồng thời: \[P(B \mid A) + P(B \mid \overline{A}) = 0{,}75 + 0{,}33 \neq 1\]
Ví dụ 4: Xác suất một chuyến bay khởi hành đúng giờ là \(0{,}83\); đến đúng giờ là \(0{,}82\); vừa khởi hành vừa đến đúng giờ là \(0{,}78\). Tính xác suất chuyến bay:
a) Đến đúng giờ, biết đã khởi hành đúng giờ;
b) Đã khởi hành đúng giờ, biết đến đúng giờ;
c) Đến đúng giờ, biết khởi hành trễ.
a) \[\frac{0{,}78}{0{,}83} \approx 0{,}94\]
b) \[\frac{0{,}78}{0{,}82} \approx 0{,}95\]
c) \[\frac{0{,}82 - 0{,}78}{1 - 0{,}83} = \frac{0{,}04}{0{,}17} \approx 0{,}24\]
Nhận xét: Câu c minh hoạ kĩ thuật hay dùng: \[P(A\overline{B}) = P(A) - P(AB)\]
Dạng 3. Công thức nhân – dãy phép thử phụ thuộc
Ví dụ 5: Có 15 sinh viên, trong đó có 5 sinh viên giỏi. Chia ngẫu nhiên 15 sinh viên thành 5 nhóm, mỗi nhóm 3 người. Tính xác suất mỗi nhóm đều có đúng một sinh viên giỏi.
Gọi \(A_i\): “nhóm thứ \(i\) có đúng 1 sinh viên giỏi”. Lập lần lượt từng nhóm; mỗi lần chọn, số người còn lại giảm 3, số sinh viên giỏi giảm 1:
\[P = \frac{\mathrm{C}_5^1 \mathrm{C}_{10}^2}{\mathrm{C}_{15}^3} \cdot \frac{\mathrm{C}_4^1 \mathrm{C}_8^2}{\mathrm{C}_{12}^3} \cdot \frac{\mathrm{C}_3^1 \mathrm{C}_6^2}{\mathrm{C}_9^3} \cdot \frac{\mathrm{C}_2^1 \mathrm{C}_4^2}{\mathrm{C}_6^3} \cdot 1 = \frac{45}{91} \cdot \frac{28}{55} \cdot \frac{15}{28} \cdot \frac{3}{5} = \frac{81}{1001} \approx 0{,}081\]Ví dụ 6: Cầu thủ A sút phạt đền lần đầu thành công với xác suất \(0{,}8\). Ở các lần sau, nếu lần trước ghi bàn thì xác suất ghi bàn là \(0{,}9\); nếu lần trước sút hỏng thì xác suất ghi bàn chỉ còn \(0{,}4\). Trong trận đấu, A sút 3 quả. Tính xác suất A ghi cả 3 bàn và xác suất A ghi đúng 2 bàn.
• Trường hợp ghi cả 3 bàn: \[0{,}8 \cdot 0{,}9 \cdot 0{,}9 = 0{,}648\]
• Trường hợp đúng 2 bàn gồm 3 kịch bản (kí hiệu G: ghi bàn, H: sút hỏng):
- \(GGH = 0{,}8 \cdot 0{,}9 \cdot 0{,}1 = 0{,}072\)
- \(GHG = 0{,}8 \cdot 0{,}1 \cdot 0{,}4 = 0{,}032\)
- \(HGG = 0{,}2 \cdot 0{,}4 \cdot 0{,}9 = 0{,}072\)
Tổng xác suất ghi đúng 2 bàn: \[0{,}072 + 0{,}032 + 0{,}072 = 0{,}176\]
Ghi chú: Đây chính là mô hình xích Markov hai trạng thái – cầu nối quan trọng sang chuyên đề Quy hoạch động trong bài toán xác suất.